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Lau 發問於 科學及數學數學 · 1 月前

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1 個解答

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  • 1 月前
    最愛解答

    因為是 0/0 不定式, 可用 l'Hospital's rule:

    當 x → 0, (1-cos(3x))/x^2 ~ 3sin(3x)/(2x)

    lim_{x→0} (3sin(3x))/(2x)

        = (3/2) lim+(x→0} sin(3x)/x

        = (3/2) (d/dx) sin(3x)|_{x=0}

        = (3/2) 3cos(3x)|_{x=0}

        = 9/2

    ∴ lim_{x→0} (1-cos(3x))/x^2 = 9/2

    亦可不用  l'Hospital's rule 而用更基礎的公式:

    (1-cos(3x))/x^2 = 2sin^2(3x/2)/x^2

        = 2 (sin(3x/2)/x)^2

    因 x→0 時,

        sin(3x/2)/x = (3/2) sin(3x/2)/(3x/2) → 3/2

    故得

       lim_{x→0} (1-cos(3x))/x^2 = 2(3/2)^2 = 9/2

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