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匿名
匿名 發問於 教育及參考書教學 · 2 月前

數學題 有沒有人會🧎🏽‍♂️🧎🏽‍♂️🙏急?

20點 急

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    Lv 7
    2 月前
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    □ABCD 邊長 a 的正方形. 內切圓圓心 O, 半徑 a/2.

    分別以 A, C 為圚心, 以 a 為半徑作圓弧, 交圓 O 於

    P. Q; R, S. 欲求 PQ 弧之外, 圓 O 內, 與 RS 弧外

    圓 O 內之區域面積.

    BD 對角線將圖分為兩半(O是BD線段中點), 算出一半之

    面積再乘以2即是結果.

    連 PQ, 則陰影月形之面積為圓 O 上 PQ 弓形減去 C 為

    圓心之 PQ 弓形. 因此,必須算出 ∠POQ 與 ∠PCQ.

    CP = CQ = a, OP = OQ = a/2, OC = (√2/2)a.

    用餘弦定律可算出

      ∠PCO = ∠QCO = acos(5√2/8)

      ∠CPQ = ∠CQO = acos(3/4)

    ∴ ∠PCQ = 2 acos(5√2/8)

       ∠POQ = 2(acos(5√2/8)+acos(3/4)) = 2 acos(√2/4)

    PQ 弦長度是

       2a sin(∠PCO) = (√14/4)a = 2(a/2) sin(∠PCO+∠CPQ)

    O, C 至 PQ 弦的垂直距離分別是 (√2/8)a , (5√2/8)a

    基於圓 O 之 PQ 扇形區域面積是

       (a/2)^2(∠POQ/2) = a^2 acos(√2/4)/4

    △OPQ 面積是

       (1/2).(√14/4)a.(√2/8)a = (√7/32)a^2

    故基於圓 O 之 PQ 弓形區域面積是

       (acos(√2/4)/4 - √7/32) a^2

    類似地, 計算基於以 C 為圓心半徑 a 之 PQ 弓形區域

    面積是

       (acos(5√2/8) - 5√7/32) a^2

    所以, PQ 月形區域面積是

       (acos(√2/4)/4 - acos(5√2/8) + √7/8) a^2

         ≒ (0.3023573007-0.4866949551+0.3307189139)a^2

         ≒ 14.638126cm^2

    而 RS 月形區域面積同 PQ 月形區域, 故整個圖形陰影

    部分面積是 14.638126cm^2 × 2 = 29.276252cm^2.

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