柏崴 發問於 科學其他:科學 · 2 月前

某二質點質量M,m,相距l,請問當固定M時,m多久會撞上M(僅受到M,m間的萬有引力,求詳細過程(以M,m,l,G表示)?

更新:

如果可以,希望能求

(1)X(t)

(2)若不固定M時的時間與X差(t)

這部分不用馬上回答,事後補充即可,主要還是問上面的題目

2 個解答

評分
  • 2 月前

    外行人又來多嘴了...

    因為是外行, 回答對或不對並沒十分把握.

    萬有引力公式

        F = GMm/I^2

    故, 在沒有其他作用力時, 質量 m 的質點向質量 M 的質點運動, 

    加速度為

        a = F/m = GM/I^2

    G 是萬有引力常數.

    因兩質點在接近, 故 F, a, 距離, 都在變動. 

    所以, 若時間 t 時的距離是 r(t), r(0) = I, 則

    此時引力為    F(t) = GMm/r^2(t)

    質量 m 之質點向目標加速度為    a(t) = GM/r^2(t)

    速度    v(t) = ∫_[0,t] a(u) du, v(0) = 0  

    而在質量 M 之質點不動的情況下,

        r(t) = I - ∫_[0,t] v(u) du

    ∴ a(t) = v'(t) = -r"(t) = GM/r^2(t), r(0) = I, r'(0) = 0.

    先把 r'(t) 看成是 r(t) 的函數 p(r) = r'(t), 則

        r"(t) = dp(r)/dt = dp(r)/dr dr/dt = p'(r) p(r)

    所以原方程式改寫為

        p'(r)p(r) + GM/r^2 = 0

    解此一階微方, 得

        (p(r))^2/2 - GM/r = C1

    當 r = I 時 (t = 0) 依假設 p(r) = -v(0) = 0,故 C1 = -GM/I. 

    故    p^2 = 2GM(1/r - 1/I)

    因 p = r'(t) = -v(t), 故取負根

        p = r'(t) = -√[2GM(1/r(t)-1/I)]

    再解 r(t):

        ∫dr/√(1/r -1/I) = -√(2GM) t + C2

    左邊積分用 r = I cos^2(x) 代換, 得

        √[Ir(t)(I-r(t))] + I^(3/2) acos(√(r(t)/I)) = √(2GM) t - C2

    在 t = 0 時 r(0) = I 代入, 得 C2 = 0. 

       √[Ir(t)(I-r(t))] + I^(3/2) acos(√(r(t)/I)) = √(2GM) t.

    看起來要寫出 r(t) 的公式並不容易. 不過, 要知道兩質點接觸

    時間並不難. 把 r(t) = 0 代入前列方程式,得

        t = I^(3/2)(π/2)/√(2GM)

    若兩質點同時向對方靠近, 則微分方程為

        r"(t) = -G(M+m)/r^2(t)

    因此兩質點接觸時間為

        t = I^(3/2)(π/2)/√[2G(M+m)]

    兩者之差:

        I^(3/2)(π/2)/√(2GM) - I^(3/2)(π/2)/√[2G(M+m)]

            = I^(3/2)(π/2) m/{√[2GM(M+m)] (√(M+m) +√M)}

  • 匿名
    2 月前

    睇英文電影 一開始可以睇中文字幕 過一排覺得跟到就轉英文字幕 一開始會好辛苦,但後尾你會迫自己跟到 之後再進化到冇字幕

    睇英文書可以每次睇完一個Chapter講個summary畀自己聽 或者更加好就揾下班上志同道合既朋友搞個讀書會互相分享讀後心得(好有用!)

    最直接就係同外國人或者ABC傾計 不過前提係要好有自信 唔怕菸先

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