麻里 發問於 科學數學 · 3 星期前

公比為1 是收斂級數嗎?

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  • 3 星期前

    一個無窮級數 Σ a_n 收斂的必要條件是 a_n 收斂至 0.

    因此, 如果是幾何級數: a_n = a_0 r^n, 收斂的必要條件

    是公比 r 的絕對值小於 1, 即 |r| < 1. 當然, 就幾何級數而

    言, |r| < 1 也是級數收斂的充分條件.

    如果不是幾何級數, 就沒有所謂 "公比" 了.

    就一般正項級數, 有所謂 "極限比值檢斂法", 是考慮級數

    的前後項比值. 

    設 Σ a_n 之一般項 a_n 都是正值, 考慮

        r_n = a_(n+1)/a_n

    若 r_n → r < 1, 則級數收斂; 若 r > 1, 則級數發散.

    若比值之極限值 r = 1, 則不能判定.

    在 r = lim r_n = 1 的情形, 

    例如 a_n = 1/n, Σ 1/n 是發散的;

    而 a_n = 1/n^2, 即 Σ 1/n^2 則是收斂的.

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