mike 發問於 科學化學 · 2 月前

亞佛加厥常數,組合數學二?

上式是利用 Ferrers 圖示所產生的對應來證明。設某一 n 之部份相異之分解的圖示有如左圖(我們用 23=7+6+5+3+2 為例):

令 b 記作底線上方框個數,d 記作 45°斜線上方框個數。這裏有三種情況:

如果 b<d, 則底線上 b 個方框可移至斜線上端如右圖所示。這樣 n 之分解中部份個數則減少了一個,且各部份仍保持相異。

如果 b=d, 則底線方框仍可移至斜線上端,唯一例外是斜線和底線相交如下面左圖:

在這情況下,這分解有形式

公高95°,斜挎5°,60°原市 永包,內角和,卻不是180°差20°

以代葉 輸 出現,

h×m長數

hang 長乘寬得知整數,唯一整數,正元此外可知h the v ,梯 上底+下底 梯 ×h/2

\begin{displaymath}

n=b+(b+1)+\cdots+(2b-1)=

\frac{3b^2-b}{2}

\

end{displaymath}

如果 b>d, 則斜線上方框可移至底部而令分解之部份個增加一個並各部份仍保持相異,唯一例外是斜線和底線相交如上面右圖且 b=d+1 在這情況下,這分解有形式

\begin{displaymath}n=(d+1)+(d+2)+\cdots+(2d)=\frac{3d^2+d}{2}\end{displaymath}

當 n \neq (3k^2 \pm k) / 2時,上面對應使 E(n) 與 F(n) 相等;當 n = (3k^2 \pm k) / 2時,則 k 是偶數使 E(n) 比 F(n) 多一個;

k 是奇數使 E(n) 比 F(n) 少一個。

本例證畢。

回到我們上面提到之 Euler 恆等式。它的左邊是一無窮乘積,恰是數列 {E(n)-F(n)} 的生成函數。由 [例 d.7] 我們證明了 Euler 恆等式。

生成函數在數學各分枝及其它各學科中有廣泛應用,本文僅就它在排列組合問題上應用作一粗淺介紹。在這裡,生成函數是看成一代數對象,我們無須顧慮它的收斂性,其理論基礎請參閱參考資料4。生成函數在概率論中應用在1中有討論,進一步有關整數分解的資料可在2中找到。

有關一般性生成函數在組合學中的應用請參閱3,5。

1. Feller, E.F., 《An Introduction to Probability Theory and Its Application》, Vol.I, John Wiley & Sons, 1968.

2. Hardy, G. H. & Wright, E.M., 《An Introduction to Theory of Numbers》, Oxford Univerdity Press, 1960.

3.Liu, C.L., 《Introduction to Combinatorial Mathematics》, McGraw-Hill, 1968.

4. Niven, I, 《Formal Power Series》, Amer. Math. Monthly, 76 (1969), 871-889.

5. Riodan, J.,《An Introduction to Combinatorial Analysis》, John Wiley & Sons, 1958.

2 個解答

評分
  • 2 月前

    这不是化学问题。应该将其移至数学类别。

  • 2 月前

    在上回討論

    pgMm

    2e-鐵               1.6×10^-19

    2cr臭ㄒㄧㄡˋ   1g

                             1atm=1680  +   3滴                           一一一一一一一一一一               1g

                                                            more

                                              6×10^9        3/4x 3 x’mas 

         一一一一一一一一一一一

                            4260.705                          cm^3                                                        22400立方公分

                                         哲學   more 

    亞佛加厥

     銅

    3克量=一杯

    1g=1ml=1c 

    1.8  0.73g -44rr37g 1·9=1900

    [例 d.5] 恆等式

    \begin{eqnarray*}

    \lefteqn{ 1+x+x^2+\cdots = \frac{1}{1-x} } \\

    & = & (1+x)(1+x^2)(1+x^4)+\cdots+(1+x^{2^r})+\cdots

    \end{eqnarray*}

    表示任意整數均可唯一地表示成 2 的冪的和形式,其中各項均相異。

    整數分解的問題常以求一次不定方程之整數解個數形式出現,下面便是一個簡單的例。

    [例 d.6] 求一次 不定方程 x+y+z=15,

     且滿足 $x\leq 5

    $,$y\leq 6$,$z\leq8$ 之正整數解之個數。

    滿足,上面條件的正整數解之個數是 x15 在生成函數

    \begin{eqnarray*}

    \lefteqn{ (x+x^2+x^3+x^4+x^5)(x+x^2+\cdots+x^6)(x+x^2+\cdots+x...

    ...x(1-x^5)}{1-x}\cdot\frac{x(1-x^6)}{1-x}\cdot\frac{x(1-x^8)}{1-x}

    \end{eqnarray*}

    中的

    係數,其答案是 15。

    作為本文最後的一個例,我們利用組合問題與其生成函數之對應關係證明下面著名的 Euler 恆等式:

    \begin{displaymath}

    (1-x)(1-x^2)(1-x^3)

    \cdots=1+\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n=1-x-x^2+x^5+x^7-

    \cdots\

    end{displaymath}

    其中,

    \begin{displaymath}

    a_n=

    \left\{

    \begin{array}{lll}

    0 &,& \mbox{{\fontfamily

    {cwM...

    ...electfont \char 139}}

     n=\frac{3k^2\pm k}{2}

    \end{array}\right.

    \end{displaymath}

    首先我們要有下面結果:

    [例 d.7] 設 n 是一正整數,令E(n) 表示將 n 分解成偶數個部份均不等之分解個數;F(n) 表示將 n 分解成奇數個部份均不等之分解個數,則我們有

    \begin{displaymath}

    E(n)=

    \left\{

    \begin{array}{lll}

    F(n) &,& \mbox{{\fontfamily...

    ...electfont \char 139}} n=\frac{3k^2\pm k}{2}

    \end{array}\right.

    \end{displaymath}

    上式是利用 Ferrers 圖示所產生的對應來證明。設某一 n 之部份相異之分解的圖示有如左圖(我們用 23=7+6+5+3+2 為例):

    令 b 記作底線上方框個數,d 記作 45°斜線上方框個數。這裏有三種情況:

    如果 b<d, 則底線上 b 個方框可移至斜線上端如右圖所示。這樣 n 之分解中部份個數則減少了一個,且各部份仍保持相異。

    如果 b=d, 則底線方框仍可移至斜線上端,唯一例外是斜線和底線相交如下面左圖:

    在這情況下,這分解有形式

    公高95°,斜挎5°,60°原市 永包,內角和,卻不是180°差20°

    以代葉 輸 出現,

    h×m長數

    hang 長乘寬得知整數,唯一整數,正元此外可知h the v ,梯 上底+下底 梯 ×h/2

    \begin{displaymath}

    n=b+(b+1)+\cdots+(2b-1)=

    \frac{3b^2-b}{2}

    \

    end{displaymath}

    如果 b>d, 則斜線上方框可移至底部而令分解之部份個增加一個並各部份仍保持相異,唯一例外是斜線和底線相交如上面右圖且 b=d+1 在這情況下,這分解有形式

    \begin{displaymath}n=(d+1)+(d+2)+\cdots+(2d)=\frac{3d^2+d}{2}\end{displaymath}

    當 $n \neq (3k^2 \pm k) / 2$ 時,上面對應使 E(n) 與 F(n) 相等;當 $n = (3k^2 \pm k) / 2$ 時,則 k 是偶數使 E(n) 比 F(n) 多一個;

    k 是奇數使 E(n) 比 F(n) 少一個。

    本例證畢。

    回到我們上面提到之 Euler 恆等式。它的左邊是一無窮乘積,恰是數列 {E(n)-F(n)} 的生成函數。由 [例 d.7] 我們證明了 Euler 恆等式。

    生成函數在數學各分枝及其它各學科中有廣泛應用,本文僅就它在排列組合問題上應用作一粗淺介紹。在這裡,生成函數是看成一代數對象,我們無須顧慮它的收斂性,其理論基礎請參閱參考資料4。生成函數在概率論中應用在1中有討論,進一步有關整數分解的資料可在2中找到。

    有關一般性生成函數在組合學中的應用請參閱3,5。

    1. Feller, E.F., 《An Introduction to Probability Theory and Its Application》, Vol.I, John Wiley & Sons, 1968.

    2. Hardy, G. H. & Wright, E.M., 《An Introduction to Theory of Numbers》, Oxford Univerdity Press, 1960.

    3.Liu, C.L., 《Introduction to Combinatorial Mathematics》, McGraw-Hill, 1968.

    4. Niven, I, 《Formal Power Series》, Amer. Math. Monthly, 76 (1969), 871-889.

    5. Riodan, J.,《An Introduction to Combinatorial Analysis》, John Wiley & Sons, 1958.

    身体機能 健康 ,鹽葉 ,黃帝

    元素表上k,n,m,l

    氣體 k元素,氫4,3 第四軌,3個電子。

    氣體e,氧o2,3,4第三軌,4個電子。

    田 0 ,na,3U

    m元素,fe,

    like 同歸 6第2bn,

    地球上三種元素

    元素,釷。

    n元素C碳,3.18011,12g.1211,0.26(2)36(1)50(10)8第2軌3個低矮

    長×寬×高,xedsa oers schx wh liv

    元素,炭

    電子k,n,m,l

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