LEO. Chang 發問於 科學數學 · 4 星期前

設x+(1/x)=3 求x^3+x^2+x+(1/x)+(1/x^2)+(1/x^3)?

2 個解答

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  • 4 星期前
    最愛解答

    x + 1/x = 3 ......①

    (x + 1/x)² = 3²

    x² + 2(x)(1/x) + (1/x)² = 9

    x² + 2 + 1/x² = 9

    x² + 1/x² = 7 ......②

    (x + 1/x)³ = 3³

    x³ + 3x²(1/x) + 3x(1/x)² + (1/x)³ = 27

    x³ + 3x + 3/x + 1/x³ = 27

    x³ + 3(x + 1/x) + 1/x³ = 27

    x³ + 3(3) + 1/x³ = 27

    x³ + 1/x³ = 18 ......③

    ①+②+③ 得

    (x + 1/x) + (x² + 1/x²) + (x³ + 1/x³) = 3 + 7 + 18

    x³ + x² + x + 1/x + 1/x² + 1/x³ = 28

  • 4 星期前

    因為x+(1/x)=3 

    兩邊平方得到(x+(1/x))^2=9 展開後得到

    x^2+2*x*(1/x)+(1/x^2)=9

    x^2+(1/x^2)=7

    同理利用兩邊立方展開得到

    x^3+3*x^2*(1/x)+3*x*(1/x^2)+(1/x^3)=27

    所以x^3+(1/x^3)+3(x+(1/x))=27

    又x+(1/x)=3 因此x^3+(1/x^3)=18

     

    故所求=x^3+(1/x^3)+x^2+(1/x^2)+x+(1/x)

               =18+7+3

               =28

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