傻瓜 發問於 科學數學 · 1 月前

請問各位神人大大??(高中數學)?

(2)為甚麼最小值取Z為四邊形對角線的交點???

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  • 1 月前
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    z^4 = -8 + 8√3 i = 16(cos(2π/3)+i sin(2π/3))

    ∴ z_k = 2(cos(π/6+kπ/2) + i sin(π/6+kπ/2)), k = 0, 1, 2, 3

    z_0 = 2(√3/2 + i/2) = √3 + i

    z_1 = 2(-1/2 + i√3/2) = -1 + √3 i

    z_2 = 2(-√3/2 - i/2) = -√3 - i

    z_3 = 2(1/2 - i √3/2) = 1 - √3 i

    z_0, z_1, z_2, z_3 是複數平面以原點為圓心, 2 為半徑的圓上4個

    等距的點, 也就是這4個點把整個圓(周)四等分. 因此,依序連接這4

    點, 形成了該圓的一個內接正方形.

    現在考慮一點 z = a+bi, 要求 z 點與 z_0, z_1, z_2, z_3 之距離和

    最小. 答案是 z 點為正方形兩對角線之交點. 這可以用幾何方法很

    簡單證明:

       首先,

          |z - z_0| + |z - z_2| ≧ |z_0 - z_2|

       等號成立當且僅當 z 在 z_0 與 z_2 連線段上.

       同理, z 必須在 z_1  與 z_3 連線段上, 可以使

           |z - z_1| + |z - z_3| = |z_1-z_3|

       達到最小. 

       所以, z 必須在上述二線段(正方形之兩對角線) 交點上, 可使

           |z - z_0| + |z - z_2|  ,   |z - z_1| + |z - z_3| 

       同時達到最小, 也使

          |z - z_0| + |z - z_1| + |z - z_2| + |z - z_3|  

       達到最小. 而其最小值就是

          |z_0 - z_2| + |z_1 - z_3| = |2√3 + 2i| + |-2+2√3 i| =  8

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