傻瓜 發問於 科學數學 · 1 月前

請問各位神人大大(高中數學極限問題)?

我看不懂???

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1 個解答

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  • 1 月前
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    數列不收斂即是發散.

    (1) 有無限多項比 1 小, 無限多項比1 大.不一定.如 a_n = 1+(-1)^n/n, 奇數項皆比 1 小, 偶數項比 1 大.但 lim_{n→∞} a_n = 1.另一數列 a_n = 1+(-1)^n, 奇數項是 0, 偶數項是 2.此數列無極限, 是發散.再一數列: a_n = (-1)^n (n+1), 奇數項是 -2, -4, -6, ...;偶數項是 3, 5, 7, ...此數列上方無界, 下方也無界.(2) 有限項比 1 小, 無限多項比1 大.不一定.如  a_n = 1 + (n-5)/n^2. 此數列前幾項是  -3, 1/4, 7/9, 15/16, 1, 37/36, 51/49, 67/64, ...此數列收斂至 1 (即: 其極限為 1.)又如 a_n = n-3, 其前幾項是: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...顯然它是發散的.(3) 有無限多項比 1 小, 無限多項比 2 大.發散.它不可能收斂到定值. 因為: 如果 lim a_n = A,給定任意 e > 0, 除了有限項 (n < N), 後面的 a_n與 A 的差距都不超過 e, 也就是:   A - e < a_n < A + e當然不可能同時 有無限多項比 1 小, 無限多項比 2 大.(4) 在區間 [1,2] 之外為有限項.不一定.只保證除了有限項外, 在某第 N 項之後都在區間 [1,2]之內, 不足以保證收斂.如 a_n = 3/2 + (-1)^n/2, 其前幾項為: 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...並不收斂.又如: a_n = 1+1/n, 其前幾項是 1, 3/2, 4/3, 5/4, ...此數列收斂至 1.     

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    • 老怪物
      Lv 7
      1 月前舉報

      a_n = [3+(-1)^n(1+1/n)]/2
      這數列的奇數項和偶數項區如果分開, 構成兩個 
      "子數列", 則它們都收斂, 分別收斂到 1 與 2.

      一個數列 a_n 如果收斂, 那麼任意挑起它的部分項
      (次序仍維持不弄亂) 構成 "子數列", 如前述挑奇數項
      或挑偶數項, 那麼這子數列會收斂到同一極限.

      如果 a_n 有兩個子數列雖然收斂但極限值不同, 如前
      面舉的例子, 兩子數列分別收斂到 1 與 2, 則 a_n 就
      不可能收斂.

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