匿名
匿名 發問於 科學數學 · 1 月前

國中不等式,求證明?

如果   b介於-a與p間,c介於a與p間,

證明c*(b+a)/(p+a)-b*(c-a)/(p-a)的值介於-a與a之間

1 個解答

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  • 1 月前

    -a ≦ b ≦ p 或 p ≦ b ≦ -a;  a ≦ c ≦ p 或 p ≦ c ≦ a

    ∴ 0 ≦ b+a ≦ p+a 或 p+a ≦ b+a ≦ 0;

        0 ≦ c-a ≦ p-a 或 p-a ≦ c-a ≦ 0

    ∴ 0 ≦ (b+a)/(p+a) ≦ 1;

        0 ≦ (c-a)/(p-a) ≦ 1

    c*(b+a)/(p+a)-b*(c-a)/(p-a)

        = (c-a)(b+a)/(p+a) - (b+a)(c-a)/(p-a)

                                + a(b+a)/(p+a) + a(c-a)/(p-a)

        = (c-a)(b+a)[1/(p+a)-1/(p-a)] 

                                + a[(b+a)/(p+a) + (c-a)/(p-a)]

        = (c-a)(b+a){(-2a)/[(p+a)(p-a)]}

                                + a[(b+a)/(p+a) + (c-a)/(p-a)]

        = -2a[(b+a)/(p+a)][(c-a)/(p-a)] 

                               + a[(b+a)/(p+a) + (c-a)/(p-a)]

    令 r = (b+a)/(p+a), s = (c-a)/(p-a).

    則 0 ≦ r ≦ 1, 0 ≦ s ≦ 1, 且

        原式 = -2ars + a(r+s) = a(r+s-2rs)

    考慮 f(r,s) = r+s-2rs  = r(1-s) + s(1-r) 的範圍:

    固定 r, 則 f(r,s) = r +s(1-2r)

        r = 1/2 時 f(r,s) = 1/2

        r < 1/2 時 1-2r > 0, s 愈大 f(r,s) 愈大, 故

                0 ≦ r ≦ r +s(1-2r) ≦ r + 1-2r = 1-r ≦ 1

        r > 1/2 時 1-2r < 0, s 愈大 f(r,s) 愈小, 故

                1 ≧ r ≧ r + s(1-2r) ≧ r + 1-2r = 1-r ≧ 0

    所以, f(r,s) = r+s-2rs總是介於 0 與 1 之間.

    因 c*(b+a)/(p+a)-b*(c-a)/(p-a) = a(r+s-2rs)

    故: 其值應在 0 與 a 之間?

    如果以上沒計算錯, 說結果在 -a 與 a 之間也沒錯.

    • 老怪物
      Lv 7
      1 月前舉報

      f(r,s) = r+s-2rs = r(1-s) + s(1-r) 
      所以 f(r,s) 可視為 1-s 與 s 的加權平均,
      權量是 r, 1-r;
      也可視為 r 與 1-r 的加權平均, 權量是
      1-s, s.
      因 r 與 1-r (或 s 與 1-s) 皆介於 0-1 之間, 
      它們的(加權)平均當然也介於 0-1 之間,
      無須如回答中繁雜的討論.

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