真真 發問於 科學數學 · 4 月前

擲硬幣的期望值問題?

投擲一枚硬幣,假設擲得正、反兩面的概率都是1/2,求下列事件所需投擲次數的期望值:

(1)首次連續擲出四次同面

(2)首次連續擲出四次正面

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  • 4 月前
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    (2) M = 首次連續擲出四次正面所需投擲次數的期望值

      M = P{HHHH}×4 + P{HHHT}×(4+M) + P{HHT)×(3+M)

                  + P{HT}×(2+M) + P{T}×(1+M)

          = (1/16)×4 + (1/16)×(4+M) + (1/8)×(3+M)

                   + (1/4)×(2+M) + (1/2)×(1+M)

    ∴ (1-1/16-1/8-1/4-1/2)M = 4/16+4/16+3/8+2/4+1/2

    ∴ (1/16)M = 15/8

    ∴ M = 30

    (1) N = 首次連續擲出四次同面所需投擲次數

    E[N] = (1/2)E[N|H] + (1/2)E[N|T]

    式中 E[N|H] 表開頭擲出 H(正面) 條件下, 擲出連續4個同面

    所需總投擲數之期望值.

    在 P{H} = P{T} = 1/2 假設下,

    E[N|H] = E[N|T] 

        = (1/2)E[N|HH] + (1/2)E[N|HT]

        = (1/2)E[N|HH] + (1/2)(1+E[N|T])

        = (1/2)E[N|HH] + (1/2)(1+E[N|H])

    E[N|HH] = E[N|TT]

       = (1/2)E[N|HHH] + (1/2)E[N|HHT]

       = (1/2)E[N|HHH] + (1/2)(2+E[N|T])

       = (1/2)E[N|HHH] + (1/2)(2+E[N|H])

    E[N|HHH] = E[N|TTT]

       = (1/2)E[N|HHHH] + (1/2)E[N|HHHT]

       = 4/2 + (1/2)(3+E[N|T])

       = 2 + (1/2)(3+E[N|H])

    ∴ E[N|H] = (1/2)E[N|HH] + (1/2)(1+E[N|H])

           = (1/4)E[N|HHH] + (1/4)(2+E[N|H]) + (1/2)(1+E[N|H])

           = (1/4)E[N|HHH] + (3/4)E[N|H] + 1

           = (1/8)E[N|HHHH] + (1/8)(3+E[N|H]) +(3/4)E[N|H]+1

           = 1/2 + (7/8)E[N|H] + 11/8

           = 15/8 + (7/8)E[N|H]

    ∴ E[N|H] = 15 = E[N|T]

    ∴ E[N] = 15

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