promotion image of download ymail app
Promoted
謙謙 發問於 科學數學 · 2 月前

試求過點( 3,1 )與雙曲線x^2-y^2/4=1相切的所有直線方程式 ?

更新:

試求過點( 1,3 )與雙曲線x^2-y^2/4=1相切的所有直線方程式?

1 個解答

評分
  • 2 月前
    最愛解答

    雙曲線 x^2 - y^2/4 = 1 上任一點 (x,y) 的斜率以隱函數

    微分法計算:

       2x - yy'/2 = 0

    ∴ y' = 4x/y, if y ≠ 0.

    y = 0 時(x = ±1), 其切線為鉛垂線 x = ±1. 此兩切線不

    通過 (3,1).

    考慮過雙曲線上一點 (a,b) 的切線, b≠0:

       y = (4a/b)(x-a)+b

    此切線要通過 (3,1), 則

        1 = (4a/b)(3-a)+b

        12a-b = 4a^2-b^2 = 4

    所以:

        b = 12a - 4,

        4a^2 -(12a-4)^2 = 4

    整理後得:

        35a^2-24a+5 = 0

    但 

        35a^2-24a+5 = 35(a-12/35)^2 + 31/35 > 0

    這表示沒有切線會通過 (3,1), 換句話說: 過

    (3,1) 無法作出與此雙曲線相切的直線.

    • ...顯示所有留言
    • 老怪物
      Lv 7
      2 月前舉報

      如果過 (1,3) 的話, 有兩個切點:
      一個在左股下半, 另一個在 (1,0).
      說起來這 (1,0) 算是  1 = (4a/b)(3-a)+b 的增根, 
      但它剛好是 y' 不存在的兩點之一.

    • Commenter avatar登入以回覆解答
還有問題嗎?立即提問即可得到解答。