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真真 發問於 科學及數學數學 · 1 月前

若x和y為正數且x^2+y^2=1, 問(x^3+y^3)/(xy)最小值為何?

1 個解答

評分
  • 1 月前
    最愛解答

    (x^3+y^3)/(xy)最小若且唯若其平方最小.

    [(x^3+y^3)/(xy)]^2 = (x^6+y^6)/(x^2y^2) +2xy

      = [(x^2+y^2)^3-3x^2y^2(x^2+y^2)]/(x^2y^2)+2xy

      = [1-3x^2y^2]/(x^2y^2)+2xy

      = 1/(xy)^2 +2(xy) - 3

    x^2+y^2 = 1 且 x, y > 0, 則 xy 最大是 1/2, 發生

    在 x=y=1/√2.

    f(t) = 1/t^2 + 2t, 0 < t ≦ 1/2, 微分法可證在此範圍

    最小值是 f(1/2) = 5.

    所以 [(x^3+y^3)/(xy)]^2 最小值是 2,

    (x^3+y^3)/(xy) 最小值是 √2.

    當 x=y=1/√2 時, 代入 (x^3+y^3)/(xy)  亦可算得其

    值為 √2.

    關於 x^2+y^2=1 時 xy 最大值的問題.

    可用圖示法得之. 或分兩步, 首先是在 

    x+y = s 限制下得 xy 最大發生在 x=y=s/2;

    其次是在 x^2+y^2=1 限制下 x+y 最大是

    直線 x+y = s 與 x^2+y^2 = 1 相切, 此時 

    x = y = 1/√2.

    關於 f(t) = 1/t^2 + 2t, 0 < t ≦ 1/2 之上升下降,

    除微分法外, 可用 f(t+Δ)-f(t) 之正負來看, 利用

    0 < t ≦ 1/2, 在 0 < Δ < t 之下可證 f(t+Δ) < f(t).

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    • 不等式如何得到不重要, 關鍵是
      (1) for all x, y (滿足給定條件), f(x,y)≧g(x,y)
      (2) 等式成立時剛好得 g(x,y) 之最小.
      則得 f(x,y) 最小, ,且等於 g(x,y) 之最小值.


      這是很好的定理,值得學習啊!就如 知足常樂 大大所說,師父你才是高手!
       

      至於昨日我寫明 h(x,y) > 0 是因為如果把 s(x,y) [ 題目的 (x³ + y³)/(xy) ] 任意寫成 f(x,y) h(x,y),但 h(x,y) 有可能會等於 0,感覺還需考慮其他東西。

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