發問於 科學數學 · 11 月前

若1/bc+1/ac+1/ab=1/11 ,且 a、b、c 為質數,則a的平方+b的平方+c的平方=?

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  • 11 月前
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    1/(bc)+1/(ac)+1/(ab) = (a+b+c)/(abc) = 1/11

    a, b, c 為質數, (a+b+c)/(abc) = 1/11

    則三數中有一為 11. 假設 c=11.

    故 (a+b+11)/(11ab) = 1/11.

    化簡, 得 a+b+11 = ab.

    故: ab - a - b = 11,

    或即 (a-1)(b-1) = 12.

    12 = 1×12 = 2×6 = 3×4

    即 a=2, b=13, 或 a=3, b=7.

    (3×4 對應 a=4, b=5 不符 a, b 皆質數之假設.)

    所以, 三數可能是 2, 11, 13, 則 a^2+b^2+c^2 = 294;

    或是 3, 7, 11, 則 a^2+b^2+c^2 = 179.

  • 匿名
    11 月前

    1/bc+1/ac+1/ab=1/11

    → (a+b+c)/abc=1/11

    → abc=11(a+b+c)

    假設 a=11

    則 bc=b+c+11

    因為「如果b>4且c>4則bc>b+c+11」

    故可假設 b 為不大於4的質數

    即 b=2或3

    若 b=2

    則 2c=2+c+11, c=13

    若 c=3

    則 3c=3+c+11, c=7

    因此 a^2+b^2+c^2=294或179

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