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# definite integral 2 question?

1.let f(X) be a function with a continuous second derivative f’’(x) and I=∫_0^1▒f(x)dx. (i) show that I=f(1)- ∫_0^1▒xf'(x)dx. (ii) show also that I=f(0)+∫_0^1▒〖(1-x)f'(x)dx〗. (iii) using (i) and (ii), or otherwise, show that I=(f(0)+f(1))/2-1/2∫_0^1▒〖x(1-x)f''(x)dx〗.

2.Let x=a(t-sin t), y=a(1-cos t), a=constant. Evaluate the integrals: ∫_0^π▒〖√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2 )) dt〗, ∫_0^π▒〖ydy/dt dt〗

ans.

2.4a, (3πa^2)/2

### 1 個解答

• 匿名
5 年前
最愛解答

20160910

更改了 1(iii) 的答案

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Question：

1. let f(x) be a function with a continuous second derivative f’’(x) and I = ∫(0,1) f(x) dx.

(i) show that I = f(1) - ∫(0,1) xf'(x) dx.

(ii) show also that I = f(0) + ∫(0,1) (1 - x)f'(x) dx.

(iii) using (i) and (ii), or otherwise, show that I = [f(0) + f(1)]/2 - 1/2 ∫(0,1) x(1 -x)f''(x) dx.

2. Let x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t), a = constant.

Evaluate the integrals: ∫(0,π) √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] dt, ∫(0,π) y (dx/dt) dt

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20160909

∫(0,π) √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] dt ]

If a > 0, the answer is 4a.

If a < 0, the answer is -4a.

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20160909

Solution：

https://s14.postimg.io/v1xl3376p/image.png