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~ N 個非整有理數 ~

N個非整有理數之和及積皆為整數,求正整數N的全部可能值,

解釋你的答案。

更新:

請解釋為甚麼當 n=2,做得 '和' 係整數時,'積' 唔係;'積' 係整數時;'和' 又唔係。

4 個解答

評分
  • 5 年前
    最愛解答

    明顯地,n=1,����可行。

    n=2,做得 '和' 係整數時,'積' 唔係;'積' 係整數時;'和' 又唔係。

    當 n=3,因為 1/2+1/3+1/6=1,所以 (1+2a)/2+(1+3b)/3+1/6=a+b+1若 1+2a=9p,1+3b=4q,則 (1+2a)/2*(1+3b)/3*1/6=pq例如:a=4,b=1,即三個有理數係 9/2、4/3 及 1/6和=9/2+4/3+1/6=6積=9/2*4/3*1/6=1所以 n=3 成立。

    當 n>3:因為 (1+3^n) 係雙數,假設等於 2m情況一:n=3k+1。第一個有理數係 1/2,第二個係 (3^n)/2,第三個係 4/3,其餘嘅係 2/3。則和=1/2+(3^n)/2+4/3+(n-3)(2/3) =(1+3^n)/2+[4+2(3k+1-3)]/3 =m+2k ⋯⋯ (一個整數)積=1/2*(3^n)/2*4/3*(2/3)^(n-3) =2^(2+n-3-2)*3^(n-n+2) =9*2^(n-3) ⋯⋯ (亦是一個整數, 因為 n>3)所以 n=3k+1 成立。

    情況二:n=3k+2。第一個有理數係 1/2,第二個係 (3^n)/2,其餘嘅係 2/3。則和=1/2+(3^n)/2+(n-2)(2/3) =(1+3^n)/2+2(3k+2-2)]/3 =m+2k ⋯⋯ (一個整數)積=1/2*(3^n)/2*(2/3)^(n-2) =2^(n-2-2)*3^(n-n+2) =9*2^(n-4) ⋯⋯ (亦是一個整數, 因為 n>3)所以 n=3k+2 亦成立。

    情況三:n=3k+3。第一個有理數係 1/2,第二個係 (3^n)/2,第三個同第四個係 4/3,其餘嘅係 2/3。則和=1/2+(3^n)/2+4/3+4/3+(n-4)(2/3) =(1+3^n)/2+[8+2(3k+3-4)]/3 =m+2k+2 ⋯⋯ (一個整數)積=1/2*(3^n)/2*4/3*4/3*(2/3)^(n-4) =2^(4+n-4-2)*3^(n-n+2) =9*2^(n-2) ⋯⋯ (亦是一個整數, 因為 n>3)所以 n=3k+3 都成立。

    結論:只要 n≧3,此命題成立。

    2015-04-19 19:02:32 補充:

    你太客氣了,你被之前嘅答案錯誤地去了死胡同。

    2015-04-20 12:46:03 補充:

    第一題係我突發奇想諗到的。

    第二題好明顯係 雨後 老師希望有人好似你噤答,而且又一路都冇人提出

    1/2+1/3+1/6=1

    所以先可以問第三題。

    Btw, 知足 老師學嘢真係好快,知識吸收能力非常之強,說一知十。

    2015-04-28 10:00:12 補充:

    當 n=2 時,假設其中一個非整有理數為 a/b,a 及 b 互質。

    情況 '和' 係整數時,則另一個會係 (kb-a)/b。

    明顯地,(kb-a) 及 b 亦互質,所以此兩數之 '積' 唔係整數。

    情況 '積' 係整數時,則另一個會係 kb/m,其中 m 為 a 嘅因子,且 k 及 m 互質。

    '和'=a/b+kb/m=(ma+kb²)/(ab)

    m 及 a 都唔係 b 嘅因子,且,k 及 b 亦唔係 a 嘅因子,所以此兩數之 '和' 唔係整數。

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  • 哈囉~版大你好~

    自從幾年前莫名其妙被裁員之後

    我便將怒氣轉為戰火

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    於是當我積極的在網路上投履歷時

    無意間看到一篇"如何利用網路來賺錢"的文章

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  • 5 年前

    樂樂:

    為甚麼你認為‘4’ 應該是不能的?

    • Commenter avatar登入以回覆解答
  • 5 年前

    逐步分析。

    N = 1 不可行。

    N = 2 也不行:

    http://math.stackexchange.com/questions/710337/sum...

    大於 3 的所有奇數皆是可能值。

    即 2n + 1 其中 n > 1。

    寫 2n + 1 = (2n - 2) + 3。

    2n - 2 個 (3^A/2) 及 3 個 (2^B/3) 之和及積必為整數,其中 A 和 B 可以設為任意大的整數。

    2015-04-19 06:12:02 補充:

    已確定:

    X:1, 2

    ✓ :5, 7, 9, 11, 13, 15, ...

    未確定:3, 4, 6, 8, 10, 12, ...

    (a)

    3 和 4 應該是不能的,但證明要想想。

    (b)

    根據邊位都好老師,偶數若是某些情況也成立。

    2015-04-19 07:19:42 補充:

    可能是可以的,只是未想到~

    大偶數也肯定可以~

    例如 N = 8。

    3 個 (5^A/3) 和 5 個 (3^B/5) 就 OK 了。

    再想想 Goldbach's conjecture 應該 even numbers OK。

    2015-04-19 07:20:33 補充:

    小的數要個別想想~

    N = 3?

    N = 4?

    今天沒有空,看看知識長 或者 那些年 老師會否試答~

    ﹝。◕‿◕。◕‿◠。﹞

    2015-04-19 15:30:07 補充:

    謝謝 邊位都好 老師 的指導。

    太開心了~

    ╭∧---∧╮

    │ .✪‿✪ │

    ╰/) ⋈ (\\╯

    2015-04-20 11:54:21 補充:

    其實係我忽略了一個基本的等式:

    1/2 + 1/3 + 1/6 = 1

    2015-04-21 17:35:49 補充:

    真係多謝 雨後 前輩 同埋 邊位都好 老師 的分析。

    唔知 那些年 老師 幾時會番黎~

    點瞧 大哥 都已經番左黎~

    大家保重~

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