YTC 發問於 科學及數學數學 · 6 年前

F.5 Maths M1 random variable

p.s. discrete random variable

X is a random variable satisfying P(X=1 or 3) = 4/7, P(X= 2 or 4) = 3/7,

P(X=1,2 or 3) = 6/7 and P(X=2,3 or 4) = 5/7.

Find the probability distribution of X.

我想請問是不是所有 random variable 都是 mutually exclusive events?

(即是X=1 與 X=3 只能同時發生其中一個。)

假如上述正確,

設 event A 作 X=1 or 3,B作 X=2。

則 P(A or B) = P(A) + P(B),

就會找到P(X=2),如此類推。

假若錯誤,那應該如何去理解這題?

謝謝!

1 個解答

評分
  • 6 年前
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    你問錯問題。

    mutually exclusive 是用於 events 的,不是用於 random variables 的。

    random variables 可以建構不同的 events。

    例如用你的例子, X 是一個 random variable。

    A = {X = 1} 是一個 event

    B = {X = 1 or 3} 是一個 event

    C = {X = 2 or 4} 是一個 event

    A 和 B 不是 mutually exclusive,因為 P(A and B) > 0

    2015-04-03 23:47:47 補充:

    A 和 C 是 mutually exclusive,因為 P(A and C) = 0

    但是你只是問法問錯,對於計算的思考你是對的。

    2015-04-03 23:50:45 補充:

    Let p(k) be the P(X = k).

    由於 X 只可以 take on 一個 value,那麼當然若 i ≠ j, 那麼 {X = i} 和 {X = j} 是 mutually exclusive.

    It is given that

    p(1) + p(3) = 4/7

    p(2) + p(4) = 3/7

    p(1) + p(2) + p(3) = 6/7

    p(2) + p(3) + p(4) = 5/7

    可得

    p(3) = 2/7

    p(2) = 2/7

    p(4) = 1/7

    p(1) = 2/7

    2015-04-03 23:51:18 補充:

    而所得的

    p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = 1

    所以 X 只可以取 {1, 2, 3, 4} 其中一值。

    完成!

    2015-04-08 01:42:28 補充:

    除了以下的回答之外,也請看看意見欄。

    X is a random variable satisfying

    ✿ P(X = 1 or 3) = 4/7

    ✿ P(X = 2 or 4) = 3/7

    ✿ P(X = 1, 2 or 3) = 6/7

    ✿ P(X = 2, 3 or 4) = 5/7

    Find the probability distribution of X.

    Let p(k) = Pr(X = k).

    Then, according to the given information,

    p(1) + p(3) = 4/7

    p(2) + p(4) = 3/7

    p(1) + p(2) + p(3) = 6/7

    p(2) + p(3) + p(4) = 5/7

    Therefore,

    p(3) = 2/7

    p(2) = 2/7

    p(1) = 2/7

    p(4) = 1/7

    Note that p(1) + p(2) + p(3) + p(4) = 1, so X can only take value from {0, 1, 2, 3}.

    The probability distribution of X is

    x P(X = x)

    0  2/7

    1  2/7

    2  2/7

    3  1/7

    我想請問是不是所有 random variable 都是 mutually exclusive events?

    問題有誤,不能說「所有 random variable 都是 mutually exclusive events」。

    Random variable 本身不是 event,但你可以用 random variable 去建構一些events。

    例如 X 是一個 random variable。

    用 X 可以寫出如 {X = 1}, {X > 2}, {X is odd} 等等 events。

    Random variable 不能講什麼 mutually exclusive。

    Events 才能夠講 mutually exclusive。

    Event A 和 event B 是 mutually exclusive 的意思是 P(A and B) = 0。

    而你用 random variable X 是可以建構出 mutually exclusive 或不是 mutually exclusive 的 events。

    例如:{X < 2} 和 {X > 3} 就是 mutually exclusive,因為兩事不能同時發生。

    但 {X > 1} 和 {X is even} 就不是 mutually exclusive。

    順帶一提,與本題無關:

    只有 event 才能說 probability,同時只有 random variable 才能說 expected value 和 variance。

    即是,只有 P( event ), E(random variable), Var(random variable),

    而沒有 E( event ), P( random variable ) 這些東西的!

    當你說 P( X = 2 ) 的時候 {X = 2} 已經是指一個event。

    (即是X=1 與 X=3 只能同時發生其中一個。)

    這則是對的,即是 {X = 1} 和 {X = 4} 是 mutually exclusive,因為 X 只能取一值。

    假如上述正確,

    設 event A 作 X=1 or 3,B作 X=2。

    則 P(A or B) = P(A) + P(B),

    就會找到P(X=2),如此類推。

    上述不完全正確,上面已解釋,但你的計算方法是對的。

    因為題目提供的每一句當中的事件都是 mutually exclusive 的,例如 {X = 1 or 3} 當中的 {X = 1} 和 {X = 3}。

    但留意每句事件不是mutually exclusive,例如 {X = 1 or 3} 和 {X = 1, 2 or 3}。

    假若錯誤,那應該如何去理解這題?

    你的做法是對的,只是用詞不正確,而從上述的講解你應該可以明白理解的方法了。

    謝謝! 客氣~

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