promotion image of download ymail app
Promoted

~ 條件不等式一題 ~

正數 x , y , z 滿足 xyz (x + y + z) = 1,

求 x³ + y³ + z³ 之最小值。

4 個解答

評分
  • 6 年前
    最愛解答

    由算幾不等式,有:

    x³ + y³ + z³ >= 3xyz ...(1)

    由廣義柯西不等式,有:

    (x³ + y³ + z³)(1 + 1 + 1)(1 + 1 + 1) >= (x + y + z)³ ...(2)

    為了用上題目的條件,所以把 (1)式 3 次方,成為:

    (x³ + y³ + z³)³ >= (3xyz)³ ...(3)

    (2)式*(3)式,得:

    9*(x³ + y³ + z³)⁴ >= 27

    (x³ + y³ + z³)⁴ >= 3

    (x³ + y³ + z³) >= ∜3

    "=" 成立的條件: x = y = z = ∜(1/3) (合題意)

    故答案為: ∜3

    2014-07-05 10:58:30 補充:

    001 知足常樂 知識長 客氣了。您的回答內容精妙,字詞優雅,排版美觀,總是令人獲益良多。

    002 仙仙 大 承蒙指教。我的頭腦其實非常遲鈍,每一題都想很久,也不一定能解出。

    2014-07-14 16:09:03 補充:

    由於算幾與柯西可互相推導(等價關係);因此,可用其一證出之命題,能用另一證得,合情合理。

    資料來源: 心得: 欲”脫掉指數”時,可考慮(廣義)柯西不等式與冪平均不等式 (後者受教於 知足常樂 知識長)。另外,個人以為”第24題”,可考慮這樣解,並仿此可得出: 無論該題目為任意正整數指數,皆在正三角形時取最小值。
    • Commenter avatar登入以回覆解答
  • 6 年前

    給一算幾解法作參考 :

    (x + y + z)³ / (x³ + y³ + z³)

    = ( x³ + y³ + z³ + 3x²y + 3x²z + 3y²x + 3y²z + 3z²y + 3z²x + 6xyz ) / (x³ + y³ + z³)

    ≤ ( x³+y³+z³ + 2x³+y³ + 2x³+z³ + 2y³+x³ + 2y³+z³ + 2z³+y³ + 2z³+x³ + 2(x³+y³+z³ ) / (x³+y³+z³)

    = 9 ... ①

    (3xyz)³ ≤ (x³ + y³ + z³)³ ... ②

    2014-07-14 03:45:39 補充:

    ① × ② :

    27 / (x³ + y³ + z³) ≤ 9(x³ + y³ + z³)³

    ∜3 ≤ x³ + y³ + z³

    • Commenter avatar登入以回覆解答
  • 6 年前

    cefpirome 大大很厲害

    我的頭腦有點遲鈍

    請多多指教

    • Commenter avatar登入以回覆解答
  • 6 年前

    cefpirome 精彩!

    深表欣賞~

    多多指教~

    互相交流~

    ╭∧---∧╮

    │ .✪‿✪ │

    ╰/) ⋈ (\\╯

    • Commenter avatar登入以回覆解答
還有問題嗎?立即提問即可得到解答。