Maths 發問於 科學及數學數學 · 6 年 前

Algebra

1a) 有一直線的y-intercept為2, 與 y = -x² + 2x - 2 只相交一點 求 該直線方程

1b) 有一直線的y-intercept為4, 與 y = -x² + 2x - 2 只相交於 A 和 B. 假設直線斜率為m, 以m表示 A 和 B 的 mid-point 坐標

1bii) 隨 m 變化, 求a,b 中點的y 坐標的最大值

2) Solve log (x²) + 2 log x = 8

3) x² - x + 1 = 0 , Find α^100 + β^100

求詳細解釋 THANKS!

更新:

HELLO~ Long Time No See :D

我想問點解 A 和 B 的 mid-point x-坐標 是 (a + b)/2 = -(m - 2)/2 = (2 - m)/2

會變左負數既?

更新 2:

明哂 :D 不過Q3 Both α and β are complex roots. 果度又唔明

據我所知 complex number 姐係 i 果啲野

點解△ 細過0就推論到下一句野

更新 3:

所以,y-坐標 是 m[(2 - m)/2] + 4 = (1/2)(2m - m² + 8) = (-1/2)(m² - 2m - 8) = (8 + 2m - m²)/2

睇唔明呢行, 中間個1/2 變負但最後又正返既?

3 個解答

評分
  • 6 年 前
    最佳解答

    圖片參考:https://s.yimg.com/lo/api/res/1.2/ZQit8r6YM3UMER1b...

    1a) 有一直線的y-intercept為2, 與 y = -x² + 2x - 2 只相交一點 求 該直線方程。

    令該線為 y = mx + 2

    兩線只相交一點。

    { y = -x² + 2x - 2

    { y = mx + 2

    -x² + 2x - 2 = mx + 2 有重根

    x² + (m - 2)x + 4 = 0

    △ = 0

    (m - 2)² - 4(1)(4) = 0

    (m - 2)² - 4² = 0

    (m - 2 + 4)(m - 2 - 4) = 0

    (m + 2)(m - 6) = 0

    m = -2 或 m = 6

    直線方程是 y = -2x + 2 或 y = 6x + 2

    1b) 有一直線的y-intercept為4, 與 y = -x² + 2x - 2 只相交於 A 和 B. 假設直線斜率為m, 以m表示 A 和 B 的 mid-point 坐標

    令該線為 y = mx + 4

    { y = -x² + 2x - 2

    { y = mx + 4

    -x² + 2x - 2 = mx + 4

    x² + (m - 2)x + 6 = 0, 設二根為 a 和 b。

    A 和 B 的 mid-point x-坐標 是 (a + b)/2 = -(m - 2)/2 = (2 - m)/2

    所以,y-坐標 是 m[(2 - m)/2] + 4 = (1/2)(2m - m² + 8) = (-1/2)(m² - 2m - 8) = (8 + 2m - m²)/2

    A 和 B 的 mid-point 坐標 = ( (2 - m)/2 , (8 + 2m - m²)/2 )

    1bii) 隨 m 變化, 求a,b 中點的y 坐標的最大值

    y-坐標 是

     (-1/2)(m² - 2m - 8)

    = (-1/2)(m² - 2m + 1 - 9)

    = (-1/2)[(m - 1)² - 9]

    = (-1/2)(m - 1)² + 9/2

    最大值 = 9/2

    2) Solve log (x²) + 2 log x = 8

    2 log x + 2 log x = 8

    4 log x = 8

    log x = 2

    x = 10² = 100

    3) x² - x + 1 = 0 , Find α¹⁰⁰ + β¹⁰⁰

    Assume the roots are α and β.

    { α + β = -(-1) = 1

    { αβ = 1

    Note that △ = (-1)² - 4(1)(1) = -3 < 0

    Both α and β are complex roots.

    (x + 1)(x² - x + 1) = 0

    x³ + 1 = 0

    x³ = -1, here the two complex roots are α and β.

    Then, α³ = -1 and β³ = -1.

    Therefore, α¹⁰⁰ + β¹⁰⁰

    = (α³)³³α + (β³)³³β

    = (-1)³³α + (-1)³³β

    = (-1)α + (-1)β

    = (-1)(α + β)

    = (-1)(1)

    = -1

    2014-07-04 20:04:02 補充:

    謝謝分享~

    但版主問 algebra 的題目,我盡量不用 calculus 的知識作答。

    2014-07-05 22:44:44 補充:

    哈哈哈,你竟然記得我,好野喎~

    問:

    我想問點解 A 和 B 的 mid-point x-坐標 是 (a + b)/2 = -(m - 2)/2 = (2 - m)/2

    會變左負數既?

    答:

    設 A 的 x-座標為 a, B 的 x-座標為 b,那麼 a 和 b 就是在方程 x² + (m - 2)x + 6 = 0 中的兩根。

    兩根的和 = a + b = -(m - 2)。

    因此,A 和 B 的 mid-point x-坐標 是 (a + b)/2 = -(m - 2)/2

    2014-07-05 22:46:47 補充:

    ☆ヾ(◕‿◕)ノ

    2014-07-05 22:47:12 補充:

    記得若 ax² + bx + c = 0 的兩根是 α 和 β,那麼

    { α + β = -b/a

    { αβ = c/a

    那個負號就是從 -b/a 這裏而來的。

    2014-07-05 23:26:21 補充:

    ★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆

    問:

    Q3 Both α and β are complex roots. 果度又唔明

    據我所知 complex number 姐係 i 果啲野

    點解△ 細過0就推論到下一句野

    答:

    因為我先要證明 α 和 β 是 complex roots (複數根)。

    你學二次方程 (quadratic equation) 時知道 discriminant △ < 0 就有兩個 complex roots。

    2014-07-05 23:31:19 補充:

    ✿ 〔字數滿額,請續看意見欄。〕 ✿

    2014-07-05 23:31:41 補充:

    ✿ 〔字數滿額,請續看意見欄。〕 ✿

    其實再想想,我也不必一定要提出 α 和 β 是 complex roots。

    可以這樣想:

    α 和 β 是 以下方程的根:

    x² - x + 1 = 0

    那麼,

    α² - α + 1 = 0 和 β² - β + 1 = 0

    (α + 1)(α² - α + 1) = 0 和 (β + 1)(β² - β + 1) = 0

    α³ + 1 = 0 和 β³ + 1 = 0

    α³ = -1 和 β³ = -1

    這樣也可以。

    2014-07-05 23:34:57 補充:

    問:

    所以,y-坐標 是 m[(2 - m)/2] + 4 = (1/2)(2m - m² + 8) = (-1/2)(m² - 2m - 8) = (8 + 2m - m²)/2

    睇唔明呢行, 中間個1/2 變負但最後又正返既?

    答:

    無特別,我只係統一寫法。

    例如你寫 1 - x 或者 - x + 1 都是一樣意思。

    我見到 x-座標我用了ascending order,所以 y-座標 都跟番,無咩特別。

    2014-07-05 23:40:08 補充:

    補充

    a x² + b x + c = 0 (a ≠ 0)

    x² + (b/a) x + c/a = 0

    x² + (b/a) x = -c/a

    x² + 2[b/(2a)] x + [b/(2a)]² = [b/(2a)]² -c/a

    [x + b/(2a)]² = b²/(4a²) - c/a

    [x + b/(2a)]² = b²/(4a²) - 4ac/(4a²)

    [x + b/(2a)]² = (b² - 4ac)/(4a²)

    [x + b/(2a)]² = △/(2a)²

    x + b/(2a) = ±√△/(2a)

    x = (-b ± √△)/(2a)

    2014-07-05 23:40:59 補充:

    因此,當 △ = b² - 4ac < 0,方程有 complex roots。

    〔以上可能是你之前說不明白的地方。〕

    2014-07-06 00:58:53 補充:

    那個是 配方法 (Method of completing the square),要善用

    a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 的公式。

    例如見到:

    x² + 6x + 4

    那麼把 6 除 2 變成 3

    x² + 2(3)x + 4

    再砌出 3²

    x² + 2(3)x + 3² - 3² + 4

    就可以變成

    (x + 3)² - 3² + 4

    (x + 3)² - 5

    由於 (x + 3)² ≥ 0,那麼 (x + 3)² - 5 ≥ -5

  • 6 年 前

    我想知 1bii) 隨 m 變化, 求a,b 中點的y 坐標的最大值

    呢題有咩竅門可以做到? 完全無頭緒

  • 1a)

    y = -x² + 2x - 2 ... (1)

    dy/dx=-2x+2

    ∵The straight line passes through (0,2)

    (y-2)/x=-2x+2

    y=-2x^2+2x+2 ... (2)

    By solving the equations, x=2 or -2

    dy/dx|x=2 = -2 , dy/dx|x=-2 = 6

    ∴Equations:

    y-2=-2(x-0) or y-2=6(x-0)

    y=-2x+2 or y=6x+2

    2014-07-04 20:33:16 補充:

    咁又係

    0.0

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