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數學 : 平方數求證

若三個數 x , y 及 (x² + y² + x ) / (xy) 皆為正整數 ,

證明 x 必為平方數。

更新:

002 回答者 Ting Fung :

可否解釋為何「m 整除 (x+y)^2, 也整除 x+y」?

5 個解答

評分
  • 7 年前
    最愛解答

    設(x^2+y^2+x)/xy = n, n 是一正整數

    掉項後可得 (x+y)^2 = (n+2)xy - x = x ( (n+2)y - 1)

    *假設 x 不是平方數, 那麼必有一個數m>1 使得 m 同時整除 x 和 (n+2)y - 1

    所以 m 也整除 (x+y)^2, 也整除 x+y

    m 整除 x 又整除 x+y 也必整除 y

    但因為 m 整除 (n+2)y - 1 所以 m 整除 1, 矛盾

    2013-07-19 16:48:41 補充:

    忘記寫 設m 為質數

    資料來源: 自己
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  • 7 年前

    002 Ting Fung :

    可否解釋為何「m 整除 (x+y)^2, 也整除 x+y」 ?

    • Commenter avatar登入以回覆解答
  • 7 年前

    以上ge意見好讚`﹗

    • Commenter avatar登入以回覆解答
  • 7 年前

    當 x=4;y=10; (x^2 +y^2 +x)/xy= 3

    y^2 = kx => k = 25

    y^2 不等於 k; y^2 也不等於 x???

    2013-07-13 23:31:59 補充:

    可以這樣表達:若 gcd⁡(k,x)=d

    則k=da^2;x=db^2=>y=abd

    那麽 x+k+1=zy

    1=zabd-da^2-db^2=d(zab-a^2-b^2 )

    =>d=1=>x=b^2

    2013-07-13 23:48:10 補充:

    從頭再整理一下:

    (x^2+y^2+x)/xy=n

    x^2+y^2+x=nxy

    y^2=(ny-x-1)x=kx

    If gcd⁡(k,x)=d then k=da^2;x=db^2=>y=abd

    k=nabd-db^2-1=da^2

    1=d(nab-b^2-a^2 )=>d=1

    So x=b^2

    2013-07-14 10:43:49 補充:

    都是來自你的方法 !

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  • 7 年前

    當X是雙數,Y一定都是雙數

    (x² + y² + x ) / (xy)

    由於(x²+ x )可被 x 除盡

    y²也一定要被 x 除盡

    y²=kx ,k為正整數

    sub y²=kx to (x² + y² + x ) / (xy)

    (x² + y² + x ) / (xy) =( x + k +1)/y=Z, Z為正整數

    y²=kx

    若k或x都不等於1

    (x +k)與y就不互質,contradiction,因為Z為正整數

    y²=k(x=1) or y²=x

    所以x 必為平方數.

    2013-07-13 21:47:58 補充:

    第一句是打多了的=,=

    跟證明無關

    2013-07-13 22:56:31 補充:

    若k或x都不等於1或平方數=.= 打小左

    2013-07-13 23:14:24 補充:

    若k或x沒有一個等於1,又或是沒有一個是平方數

    對不起T_T...

    加上這個就完整了

    不然的話

    (x +k)與y就不互質這話也不能成立

    當x和k其中一個是平方數,另一都一定是

    2013-07-14 01:07:19 補充:

    *.*我見到了T^T

    咁樣去證明

    k,x互質

    於是一定是平方數

    強! 抄抵,下次用XDDD

    2013-07-19 20:58:16 補充:

    好野

    我的是y^2

    比人一改

    變左(x+y)^2

    就好似係第二個答案咁

    2013-07-19 21:00:23 補充:

    仲可以答埋出黎

    我覺得勁人太多

    我只是班門弄斧

    2013-07-19 21:37:00 補充:

    對不起T_T

    我太衝動了

    歡迎

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