Simon 發問於 科學及數學數學 · 9 年 前

Linear Algebra Problem

The operator T on C^4 has the matrix:

2 1 2 2

0 2 0 -1

0 0 2 1

0 0 0 2

with respect to the standard basis.

(a) Find its characteristic polynomial and its minimal polynomial.

(b) Determine the Jordan normal form of the operator T and a Jordan basis.

更新:

找Jordan Basis時, 為何是選擇[0 0 0 1]^T?

更新 2:

那到最後一步時, Jordan basis的4個vector是如何得出來的? (我對jordan basis實在是太不熟悉...)

1 個解答

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  • 9 年 前
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    [2 1 2 2]

    [0 2 0 -1]

    [0 0 2 1]

    [0 0 0 2]

    特徵值為2,2,2,2

    特徵多項式為(λ-2)^4

    A-2I=

    [0 1 2 2]

    [0 0 0 -1]

    [0 0 0 1]

    [0 0 0 0]

    特徵向量為α[1 0 0 0]^T+β[0 2 -1 0]^T

    (A-2I)^2=

    [0 0 0 1]

    [0 0 0 0]

    [0 0 0 0]

    [0 0 0 0]

    廣義特徵向量為α[1 0 0 0]^T+β[0 1 0 0]^T+γ[0 0 1 0]^T

    (A-2I)^3=

    [0 0 0 0]

    [0 0 0 0]

    [0 0 0 0]

    [0 0 0 0]

    廣義特徵向量為

    α[1 0 0 0]^T+β[0 1 0 0]^T+γ[0 0 1 0]^T+δ[0 0 0 1]^T

    可知其點圖為

    ‧‧

    最長循環長度為3

    最小多項式為(λ-2)^3

    Jordan form為

    [2 0 0 0]

    [0 2 1 0]

    [0 0 2 1]

    [0 0 0 2]

    [0 1 2 2][0] [ 2]

    [0 0 0 -1][0] [-1]

    [0 0 0 1][0] = [ 1]

    [0 0 0 0][1] [ 0]

    [0 1 2 2][ 2] [ 1]

    [0 0 0 -1][-1] [ 0]

    [0 0 0 1][ 1] = [ 0]

    [0 0 0 0][ 0] [ 0]

    {[0 2 -1 0]^T , [1 0 0 0]^T ,[2 -1 1 0]^T ,[0 0 0 1]^T }

    為A之一組有序Jordan basis

    2011-03-16 17:47:40 補充:

    對於特徵值2的廣義特徵向量而言

    共有三層

    最裡面一層是特徵向量,共兩個

    第二層為廣義特徵向量,共一個

    第三層為廣義特徵向量,共一個

    找的時候要先找最外層的(即只存在在第三層而不存在在第二層)

    A+λI 乘上第三層的廣義特徵向量會跑到第二層

    A+λI 乘上第二層的廣義特徵向量會跑到第一層

    這三個就算一組廣義特徵向量循環

    在第三層以內(即1+2+3層)的廣義特徵向量有

    [1 0 0 0]^T、[0 1 0 0]^T、[0 0 1 0]^T、[0 0 0 1]^T

    不過前三個都分布在第二層與第一層

    僅有[0 0 0 1]^T是僅存在於第三層中

    2011-03-16 17:48:20 補充:

    所以就以[0 0 0 1]^T開始尋找廣義特徵向量循環

    2011-03-16 22:43:43 補充:

    A-2I=

    [0 1 2 2]

    [0 0 0 -1]

    [0 0 0 1]

    [0 0 0 0]

    乘上最外層的[0 0 0 1]^T

    會變成第二層的廣義特徵向量[2 -1 1 0]^T

    第二層的[2 -1 1 0]^T

    再乘一次A-2I會變成第一層的特徵向量[1 0 0 0]^T

    2011-03-16 22:47:27 補充:

    對照點圖

    ┌─┐

    │‧│‧←第一層

    │‧│ ←第二層

    │‧│ ←第三層

    └─┘

    就是這三個向量形成廣義特徵向量循環

    之後還缺一個第一層的特徵向量

    2011-03-16 22:59:46 補充:

    就第一層選一個不要和剛剛算出來的衝到就好了

    所以就選[0 2 -1 0]^T

    2011-03-16 23:03:05 補充:

    [2 0 0 0]

    [0 2 1 0]

    [0 0 2 1]

    [0 0 0 2]

    ↑ ↑ ↑ ↑

    (1)(2)(3)(4)

    (1)對應到的是第一層的特徵向量[0 2 -1 0]^T

    (2)對應到的是第一層的特徵向量[1 0 0 0]^T

    (3)對應到的是第二層的廣義特徵向量[2 -1 1 0]^T

    (4)對應到的是第三層的廣義特徵向量[0 0 0 1]^T

    希望您能看出他的規律性

    資料來源: me
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