關於找高階方陣的函數之大疑惑

圖片參考:http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpa...

根據http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qi...

大家都知道,解決這類問題的方法不外乎只有兩種,一是「diagonalization或Jordan decomposition」,二是「Cayley–Hamilton theorem + division algorithm」。

首先探討第一種方法:

因為這個matrix其eigenvalues有重根,所以很自然是做Jordan decomposition。但是把2這個五重根寫成Jordan block時,是否直接把它視為5 × 5的Jordan block就算呢?肯定不是。因為根據http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qi... + 二重根,因此也只能寫成3 × 3的Jordan block + 2 × 2的Jordan block。

接著探討第二種方法:

因為這個matrix其eigenvalues分別是1和五重根的2,所以其characteristic polynomial很自然是(λ - 1)(λ - 2)^5 = 0,然後根據Cayley–Hamilton theorem就會得出(A - 1)(A - 2)^5 = 0,接著根據division algorithm就會得出λ^n = Q(λ)(λ - 1)(λ - 2)^5 + pλ^5 + qλ^4 + rλ^3 + sλ^2 + tλ + u和A^n = Q(A)(A - 1)(A - 2)^5 + pA^5 + qA^4 + rA^3 + sA^2 + tA + uI。而由於有2這個五重根,因此找p, q, r, s, t, u時也必定牽涉把λ^n = Q(λ)(λ - 1)(λ - 2)^5 + pλ^5 + qλ^4 + rλ^3 + sλ^2 + tλ + u微分達4次。

問題來了:

在第一種方法,2這個五重根只能視為三重根 + 二重根;而在第二種方法,2這個五重根仍然原封不動地視為五重根,這是否代表兩者的特性是互相矛盾從而暗示了第二種方法是不可行的?如果第二種方法仍然是可行的,那麼用第二種方法的時候是否需要因為用第一種方法的時候會出現「把重根分拆看待」的情況而作出相應的調整?抑或根本上第二種方法與第一種方法的「把重根分拆看待」完全無關?請用相關的數學理論並詳細解釋。

3 個解答

評分
  • 天助
    Lv 7
    10 年 前
    最佳解答

    設A為nxn matrix, p(x)=det(A-xI), then C-H thm: p(A)=0.

    求A^n, C-H thm是一個方法,也還不錯用,但並不是 efficient的方法

    In face, minimal poly. m(x) [m(x) is a minimum degree poly. 滿足m(A)=0]較為簡便,

    eg. A=I (identity matrix), then p(x)=(1-x)^n,以之求取A^m,則求x^m除以(x-1)^n求餘式,

    但以minimal poly. m(x)=x-1, 則x^m除以x-1餘 1^m=1, so A^m=I (當然簡單得多)

    eg. 本題

    p(x)=(x-1)(x-2)^5, m(x)=(x-1)(x-2)^3, 求A^n

    以p(x)求A^n時,則求 x^n除以 (x-1)(x-2)^5求餘式 (設為R(x), 5次式)

    以m(x)求A^n時,則求x^n除以 (x-1)(x-2)^3求餘式 (設為r(x), 3次式)

    兩個方法當然都可以,只是R(x)內含一些多餘的部分:

    設R(x)除以m(x), 得q(x), 餘 r2(x), 則R(x)=m(x)q(x)+r2(x),so, r2(x)=r(x)

    then A^n=R(A)=m(A)q(A)+r(A)=r(A)

    故兩法(以p(A)=0 or m(A)=0)求A^n,結果不會互相矛盾,

    只是用C-H thm可能冗長點,

    但求m(x)之前還得檢視每個eigenvalue相對general eigen space的dim

    故雖然以m(A)=0求f(A)比較efficient, 但仍以C-H thm求f(A)直接一些!

    OK!? (給您一點建議: linear algebra多用心點!)

  • 10 年 前

    我最想知道的就是直觀(如有的話)和嚴謹的解釋,否則很難有說服力。

  • jesus
    Lv 6
    10 年 前

    還是一樣微分4次就可以了

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