Thomas 發問於 科學及數學數學 · 1 十年 前

Challenging a.math questions

1. It is given that x*x-4*x+7 is an identity of (x+p)^2+q, where p and q are constants.

a) Find the values of p and q.

b) Write down the least value of x*x-4*x+7

c) Hence, or otherwise, find the range of possible values of 1/(x*x-4*x+7)

2. a) If a and B are the roots of the equation x*x+p*x+q=0, express a^3+B^3 and

(a-B*B)*(B-a*a) in terms of p and q.

b) Deduce that the condition for one root of the equation to be the square of the other is p^3-3*p*q+q*q+q=0.

Thanks for any help.

1 個解答

評分
  • 1 十年 前
    最佳解答

    1a

    Completing square,將 -4 除 2 再 Square 得 4,

    所以將 x*x - 4x + 7 寫成 x*x - 4x + 4 + 3 ,於是 p = -2, q = 3 了。

    1b

    叫得你寫做 Square 加一個數,就係想你知 Square 最小都一定係 0

    所以,(x+2)^2 + 3 ,最小都只可以當舊 Square 是 0,即最小值為 3

    1c

    首先注意 (x+2)^2 + 3 一定是正數,所以 1 / (x+2)^2 + 3 都一定是正數

    題目那東西最小是 3 ,而那東西是 Square + 3 ,所以個 Square 任大都可以

    x^2 - 4x + 7 最小,代表 1 / (x^2 - 4x + 7) 最大,所以最大值為 1/3

    x^2 - 4x + 7 最大,代表 1 / (x^2 - 4x + 7) 最小。

    但是 x^2 - 4x + 7 任大都可以,1 / (x^2 - 4x + 7) 就任細了。但是卻不計 0~

    因為你點代個 x,1 / (x^2 - 4x + 7) 都係正數,永遠不到零

    所以答案是 0 至 1/3,包 1/3 但不包 0。

    2a

    a + B 就是 Root Sum,就是 -p

    aB 就是 Root Product,就是 q

    所以你可以將 a^2 + B^2 寫成:

    a^2 + B^2

    = a^2 + B^2 + 2aB - 2aB <---- 攝個 Term 落去

    = (a+B)^2 - 2aB <----- 用左公式

    咁就可以代番晒o的 a+B、aB

    = p^2 - 2q

    同樣,你可以將 (a-B),這個不是 Root Sum,而是 Root Difference 的東西寫成...

    (a - B)

    = [ (a - B)^2 ] ^ (1/2) <------------ 鑑粗 Square 再開番方

    = [ a^2 - 2aB + B^2 ] ^ (1/2)

    = [ a^2 + 2aB + B^2 - 4aB ] ^ (1/2) <----------- 我們想要 (a+B) 樣而不是 (a-B) 樣

    = [ (a + B) ^2 - 4aB ] ^ (1/2)

    = [ p^2 - 4q ] ^ (1/2)

    基於「想要 (a+B) 樣而不是 (a-B) 樣」的精神 (因為得 a+B 先有得直代 -p ),

    a^2 + B^2 = ( a + B)^2 - 2aB --------------- (1)

    (a-B)^2 = ( a + B )^2 - 4aB -------------- (2)

    這東西最好記實... 包你話好使好用

    以上兩點都好 Standard,一定要記熟

    返回題目,

    a^3 + B^3 = (a + B) (a^2 - aB + B^2)

    前面個 (a+B) 就 OK 了 (可直接代 -p),後面的點算?

    用上面的 (1) 招,代到變左

    (a + B) [ (a+B)^2 - 2aB - aB ]

    = (a+B) [ (a+B)^2 - 3aB] = (-p) ( p^2 - 3q )

    之後,試o下將 (a-B^2) (B-a^2) 硬爆...

    aB + a^2 B^2 - a^3 - B^3

    前面兩個 Term 就代 q 和 q^2 (簡單),

    後面的 -a^3 -B^3 就只是上面答案的負數姐... 代番又 OK

    2b

    佢話兩個 Roots,是但一個是另一個的 Square。

    當住兩個 Root 叫 a B 先啦

    咁唔知邊個係邊個的 Square 嘛,咁咪要兩個 Case 都睇晒。

    一個 Case 就是 a^2 = B ,一個 Case 就是 a = B^2。

    要是但一條 Equation 成立,所以...

    a^2 = B or a = B^2

    之後,好似 Quadratic Equation 倒轉頭做...

    a^2 - B = 0 or a - B^2 = 0

    可以將兩條黐埋...

    (a^2 - B) (a - B^2) = 0

    哇,屈機!點解個左手邊同 2a 第二個答案一樣的??

    就代番落去,咁就做完!收工!

    ---------------

    最重要的是,識得上述的 (1) (2) 招,

    咁對住二次方就無敵,三次方都可以用

    A^3 + B^3 = (A+B) (A^2 - AB + B^2)

    A^3 - B^3 = (A-B) (A^2 + AB + B^2)

    這兩招,將三次方變成二次方,咁又無敵了。

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