• 請證明 6 的 x 次方加 4 不是完全平方數 6^x+4 != m^2?

    若 6^x + 4 = m² 有正整數解,則 6^x = (m-2)(m+2) 因 (m+2) - (m-2) = 4,故 m+2 和 m-2 不能同時為3的倍數,但它們之積6^x為3的倍數,故它們當中有且僅有一者為3的倍數且明顯此數有因數3^x於是另一數不會大於2^x 故可斷言大數m+2有因數3^x。另一方面它們之差4與它們之積6^x皆為偶數,故它們必都是偶數,於是m+2有因數2×3^x,故此 m-2 不大於 2^(x-1),至此我們有 (m+2) - (m-2) >= 2×3^x - 2^(x-1) 4 >= 2×3^x - 2^(x-1) 4 > 2×3^x - 3^(x-1) = 5 × 3^(x-1) >= 5 矛盾! 所以 6^x + 4 不是完全平方數。 顯示更多
    若 6^x + 4 = m² 有正整數解,則 6^x = (m-2)(m+2) 因 (m+2) - (m-2) = 4,故 m+2 和 m-2 不能同時為3的倍數,但它們之積6^x為3的倍數,故它們當中有且僅有一者為3的倍數且明顯此數有因數3^x於是另一數不會大於2^x 故可斷言大數m+2有因數3^x。另一方面它們之差4與它們之積6^x皆為偶數,故它們必都是偶數,於是m+2有因數2×3^x,故此 m-2 不大於 2^(x-1),至此我們有 (m+2) - (m-2) >= 2×3^x - 2^(x-1) 4 >= 2×3^x - 2^(x-1) 4 > 2×3^x - 3^(x-1) = 5 × 3^(x-1) >= 5 矛盾! 所以 6^x + 4 不是完全平方數。
    2 個解答 · 數學 · 1 星期前
  • 如何用國中的數學方法比較出2^125和7^49的大小?

    2^125 < 2^126 = (2^18)^7 = (8^6)^7 < (7^7)^7 = 7^49
    2^125 < 2^126 = (2^18)^7 = (8^6)^7 < (7^7)^7 = 7^49
    2 個解答 · 數學 · 2 星期前
  • 已知圓O1、圓O2的半徑分別為14、20,外公切線數為2條,則O1O2的範圍為? --- 想很久QQ?

    若O1完全在O2內,O1O2 <= 20-14=6, 則外公切線至多一條(兩圓周相碰即O1O2=6時)。 若O1非完全在O2內,則外公切線有2條, 此時 O1O2 > 6 即為所求。
    若O1完全在O2內,O1O2 <= 20-14=6, 則外公切線至多一條(兩圓周相碰即O1O2=6時)。 若O1非完全在O2內,則外公切線有2條, 此時 O1O2 > 6 即為所求。
    1 個解答 · 數學 · 2 星期前
  • 請問一題數學題 一16宮格,欲使用4種顏色在每一小格上塗上一種顏色,每一行、每一列的4小格顏色必須不同,請問共有多少種塗法?並說明之。 謝謝?

    以1,2,3,4代表4種顏色。 設以1為首的那行為1234,那麼以2為首的那行只有2143 ,2341或2413三種塗法。 1234,2143對應以3為首的那行有3412和3421 計2種 1234,2341對應以3為首的那行有3412 計1種 1234,2413對應以3為首的那行有3142 計1種 當其中三行選定後第四行只有1種塗法。 綜上以1為首的那行是1234時組合其餘三行情況累計2+1+1=4種,而以1為首的那行有3!種塗法,累計四行組合4×3!種,最後把四行作全次序排列生成全部塗法共 4×3!×4! = 576種。
    以1,2,3,4代表4種顏色。 設以1為首的那行為1234,那麼以2為首的那行只有2143 ,2341或2413三種塗法。 1234,2143對應以3為首的那行有3412和3421 計2種 1234,2341對應以3為首的那行有3412 計1種 1234,2413對應以3為首的那行有3142 計1種 當其中三行選定後第四行只有1種塗法。 綜上以1為首的那行是1234時組合其餘三行情況累計2+1+1=4種,而以1為首的那行有3!種塗法,累計四行組合4×3!種,最後把四行作全次序排列生成全部塗法共 4×3!×4! = 576種。
    1 個解答 · 數學 · 3 星期前
  • 一次擲三個公正骰子,已知在點數和為10的條件下,求三骰子出現點數均相異的條件機率為?

    最佳解答: 依小至大拆分10點的全部結果如下: =1+3+6三點相異共6種排列 =1+4+5三點相異共6種排列 =2+2+6非三點相異共3種排列 =2+3+5三點相異共6種排列 =2+4+4非三點相異共3種排列 =3+3+4非三點相異共3種排列 故三骰子出現點數均相異的條件機率為 (6+6+6)/(3+3+3+6+6+6)=18/27 = 2/3
    最佳解答: 依小至大拆分10點的全部結果如下: =1+3+6三點相異共6種排列 =1+4+5三點相異共6種排列 =2+2+6非三點相異共3種排列 =2+3+5三點相異共6種排列 =2+4+4非三點相異共3種排列 =3+3+4非三點相異共3種排列 故三骰子出現點數均相異的條件機率為 (6+6+6)/(3+3+3+6+6+6)=18/27 = 2/3
    1 個解答 · 數學 · 2 月前
  • 已知根號3為無理數,試證明根號5減根號3也是無理數?

    最佳解答: 設√5-√3為有理數, 則有理數√5-√3+無理數2√3 =√5+√3是無理數, 那末(√5-√3)(√5+√3)=2為有理數 是有理數與無理數之積矛盾! 故√5-√3是無理數。
    最佳解答: 設√5-√3為有理數, 則有理數√5-√3+無理數2√3 =√5+√3是無理數, 那末(√5-√3)(√5+√3)=2為有理數 是有理數與無理數之積矛盾! 故√5-√3是無理數。
    3 個解答 · 數學 · 4 月前
  • 國二下數學 解釋加答案,謝謝 將所有正整數按照規律放進格子中,第一排第一列放入1,第二排第一列放入2,第一排第二列放入3,第三排第一列放入4,第二排第二列放入5,第一排第三列放入6,以此類推 (1)第一排第七列放入的數字為多少? (2)819放在第幾排第幾列?

    最佳解答: 1) 第一排第七列放入的數字為1+2+3+4+5+6+7=7×(1+7)/2=28。 2) 因第一排第40列放入的數字為 1+2+3+…+40=40×41/2=820, 故819在第二排第39列。
    最佳解答: 1) 第一排第七列放入的數字為1+2+3+4+5+6+7=7×(1+7)/2=28。 2) 因第一排第40列放入的數字為 1+2+3+…+40=40×41/2=820, 故819在第二排第39列。
    1 個解答 · 數學 · 7 月前
  • 設x為任意實數,則函數f(x)=角3根cos x-sin x之最大值為多少?最小值為多少?

    最佳解答: -√3cosx-sinx =-2(√3/2 cosx + 1/2 sinx) =-2(cos30°cosx + sin30°sinx) =-2cos(x-30°) 因 -1<= cos(x-30°) <=1 故最大值為 2, 最小值是 -2。
    最佳解答: -√3cosx-sinx =-2(√3/2 cosx + 1/2 sinx) =-2(cos30°cosx + sin30°sinx) =-2cos(x-30°) 因 -1<= cos(x-30°) <=1 故最大值為 2, 最小值是 -2。
    1 個解答 · 數學 · 7 月前
  • 請問這一題我該怎麼解?

    該長方形垛共有柳丁 12×6+11×5+10×4+9×3+8×2+7×1 = (6+6)6+(6+5)5+(6+4)4+(6+3)3 +(6+2)2+(6+1)1 =6(6+5+4+3+2+1) + 6^2+5^2+4^2+3^2+2^2+1^2 =6(6×7)/2 + 6×7×(2×6+1)/6 =126 + 91 = 217個
    該長方形垛共有柳丁 12×6+11×5+10×4+9×3+8×2+7×1 = (6+6)6+(6+5)5+(6+4)4+(6+3)3 +(6+2)2+(6+1)1 =6(6+5+4+3+2+1) + 6^2+5^2+4^2+3^2+2^2+1^2 =6(6×7)/2 + 6×7×(2×6+1)/6 =126 + 91 = 217個
    1 個解答 · 數學 · 7 月前
  • 請問各位大大,這題該怎麼解?

    1+(1+2)+(1+2+3)+···+(1+2+3+···+n) = (1×2 + 2×3 + 3×4 +...+ n(n+1))/2 = (1×2(3-0) + 2×3(4-1) + 3×4(5-2) +... + n(n+1)(n+2 - (n-1)) )/6 = (-0×1×2+1×2×3 - 1×2×3+2×3×4 - 2×3×4+3×4×5 -...+ n(n+1)(n+2))/6 = n(n+1)(n+2)/6
    1+(1+2)+(1+2+3)+···+(1+2+3+···+n) = (1×2 + 2×3 + 3×4 +...+ n(n+1))/2 = (1×2(3-0) + 2×3(4-1) + 3×4(5-2) +... + n(n+1)(n+2 - (n-1)) )/6 = (-0×1×2+1×2×3 - 1×2×3+2×3×4 - 2×3×4+3×4×5 -...+ n(n+1)(n+2))/6 = n(n+1)(n+2)/6
    2 個解答 · 數學 · 7 月前
  • 有10個元素,(A,B,C....H,I,J) 每次要放入4個元素,如: [ABCD] [ABCE] [ABCF] .... 但是元素不能有重複, 如: [AABC] <-重複'A' [HJCJ] <-重複'J' 請問這個公式如何計算?

    第一個元素有10種選擇, 第二個元素有9種選擇, 第三個元素有8種選擇, 第四個元素有7種選擇, 共有10×9×8×7種選擇, 但這樣算的話對每一種選擇而言都包含了其四個元素的4×3×2×1個排列, 故四個元素不同排列次序視為相同共有 10×9×8×7/(4×3×2×1) = 210 種取法。
    第一個元素有10種選擇, 第二個元素有9種選擇, 第三個元素有8種選擇, 第四個元素有7種選擇, 共有10×9×8×7種選擇, 但這樣算的話對每一種選擇而言都包含了其四個元素的4×3×2×1個排列, 故四個元素不同排列次序視為相同共有 10×9×8×7/(4×3×2×1) = 210 種取法。
    1 個解答 · 數學 · 7 月前
  • 多項式的除法原理數學題,求解,拜託! 設f(x)為三次多項式,若f(x)除以(x+2)(x-3)余4x-1,除以x平方+1余-9x+8,求f(x)?

    最佳解答: 設f(x)=(ax+b)(x^2+1)-9x+8 由f(-2)=4(-2)-1=-9 得(-2a+b)((-2)^2+1)-9(-2)+8=-9 2a-b=7 又f(3)=4(3)-1=11 得(3a+b)(3^2+1)-9(3)+8=11 3a+b=3 得a=2,b=-3 故f(x)=(2x-3)(x^2+1)-9x+8 =2x^3-3x^2-7x+5
    最佳解答: 設f(x)=(ax+b)(x^2+1)-9x+8 由f(-2)=4(-2)-1=-9 得(-2a+b)((-2)^2+1)-9(-2)+8=-9 2a-b=7 又f(3)=4(3)-1=11 得(3a+b)(3^2+1)-9(3)+8=11 3a+b=3 得a=2,b=-3 故f(x)=(2x-3)(x^2+1)-9x+8 =2x^3-3x^2-7x+5
    1 個解答 · 數學 · 9 月前
  • X^3+3x+1=0 X=?

    x^3+3x+1=0 因(-1)^3+3(-1)+1 < 0 < 0^3+3(0)+1 故 -1 < x < 0 x=(-1-x^3)/3 因x^3較小,以x^3=0代入近似得 x=-1/3 , 以x^3=-0.037037代入近似得 x=-0.3209876 , 以x^3=-0.034723代入近似得 x=-0.322 , 以x^3=-0.033386代入近似得 x=-0.3222 ,以x^3=-0.033448代入近似得 x=-0.32218 , 則 -0.3222 < x < -0.32218 , 故 x = -0.3222 (準確至四位小數)
    x^3+3x+1=0 因(-1)^3+3(-1)+1 < 0 < 0^3+3(0)+1 故 -1 < x < 0 x=(-1-x^3)/3 因x^3較小,以x^3=0代入近似得 x=-1/3 , 以x^3=-0.037037代入近似得 x=-0.3209876 , 以x^3=-0.034723代入近似得 x=-0.322 , 以x^3=-0.033386代入近似得 x=-0.3222 ,以x^3=-0.033448代入近似得 x=-0.32218 , 則 -0.3222 < x < -0.32218 , 故 x = -0.3222 (準確至四位小數)
    1 個解答 · 數學 · 9 月前
  • 三角學的應用 二維空間 急!!!?

    BN=ABcosB=8(8^2+11^2-9^2)/(2*8*11) =52/11 又△ONB~△CNA, 故ON/CN=BN/AN ON/(11-52/11)=52/11 /√(8^2-(52/11)^2) ON=3588/121 /√(5040/121) ON=(299√35)/385
    BN=ABcosB=8(8^2+11^2-9^2)/(2*8*11) =52/11 又△ONB~△CNA, 故ON/CN=BN/AN ON/(11-52/11)=52/11 /√(8^2-(52/11)^2) ON=3588/121 /√(5040/121) ON=(299√35)/385
    1 個解答 · 數學 · 10 月前
  • 將1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 兩兩配對形成5個長方形,再將這5個長方形合拼成1個正方形,請問有幾種拼法??

    最佳解答: 將1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 兩兩配對形成五個長方形有 10C2 × 8C2 × 6C2 × 4C2 × 2C1 / 5! 種方法, 再將這五個長方形合併成一個正方形有 10C2 × 8C2 × 6C2 × 4C2 × 2C1 / 5! × 5! = 10C2 × 8C2 × 6C2 × 4C2 × 2C1 = 10×9/2 × 8×7/2 × 6×5/2 × 4×3/2 × 2×1/2 = 10!/2^5 = 113400 種方法。
    最佳解答: 將1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 兩兩配對形成五個長方形有 10C2 × 8C2 × 6C2 × 4C2 × 2C1 / 5! 種方法, 再將這五個長方形合併成一個正方形有 10C2 × 8C2 × 6C2 × 4C2 × 2C1 / 5! × 5! = 10C2 × 8C2 × 6C2 × 4C2 × 2C1 = 10×9/2 × 8×7/2 × 6×5/2 × 4×3/2 × 2×1/2 = 10!/2^5 = 113400 種方法。
    1 個解答 · 數學 · 1 年前
  • X>=Y>=Z>= -1 ( >=是大於等於的意思),且X+3Y-2Z=5,求3X-2Y+Z之最大值,此時X,Y,Z=?

    由X+3Y-2Z=5 得 X=5-3Y+2Z , 則 3X-2Y+Z = 3(5-3Y+2Z) -2Y+Z = 15-11Y+7Z <= 15-11Y+7Y = 15-4Y <= 15-4(-1) =19,上式等號當且僅當 Y=Z=-1 時成立, 此時 X=6 。 別解: 令Y=Z+a , X=Z+a+b , 則a,b>=0, 有 X+3Y-2Z = Z+a+b + 3Z+3a - 2Z = 2Z+4a+b = 5 , 取 Z=-1, a=0 得b最大值=7 而3X-2Y+Z = 3Z+3a+3b -2Z-2a +Z = 2Z+a+3b = 2Z+4a+b -3a +2b = 5 -3a +2b 取a=0, b=7 得 3X-2Y+Z 最大值=19。 此時 Z=-1,... 顯示更多
    由X+3Y-2Z=5 得 X=5-3Y+2Z , 則 3X-2Y+Z = 3(5-3Y+2Z) -2Y+Z = 15-11Y+7Z <= 15-11Y+7Y = 15-4Y <= 15-4(-1) =19,上式等號當且僅當 Y=Z=-1 時成立, 此時 X=6 。 別解: 令Y=Z+a , X=Z+a+b , 則a,b>=0, 有 X+3Y-2Z = Z+a+b + 3Z+3a - 2Z = 2Z+4a+b = 5 , 取 Z=-1, a=0 得b最大值=7 而3X-2Y+Z = 3Z+3a+3b -2Z-2a +Z = 2Z+a+3b = 2Z+4a+b -3a +2b = 5 -3a +2b 取a=0, b=7 得 3X-2Y+Z 最大值=19。 此時 Z=-1, Y=-1, X=6。
    2 個解答 · 數學 · 1 年前
  • 三角形ABC周長為20,角B60度,已知內切圓半徑為r=(根號3),求外接圓半徑。?

    面積=20r/2=ac sin60°/2 20√3=ac√3/2 ac=40 又b^2=a^2+c^2-2ac cos60° b^2=a^2+c^2-40......* 而a+b+c=20得(a+c)^2=(20-b)^2 a^2+c^2+2ac=b^2-40b+400 a^2+c^2=b^2-40b+320,代入*得 b^2=b^2-40b+320-40 b=7 故外接圓半徑=b/(2sin60°)=b/√3 =7√3/3
    面積=20r/2=ac sin60°/2 20√3=ac√3/2 ac=40 又b^2=a^2+c^2-2ac cos60° b^2=a^2+c^2-40......* 而a+b+c=20得(a+c)^2=(20-b)^2 a^2+c^2+2ac=b^2-40b+400 a^2+c^2=b^2-40b+320,代入*得 b^2=b^2-40b+320-40 b=7 故外接圓半徑=b/(2sin60°)=b/√3 =7√3/3
    1 個解答 · 數學 · 1 年前
  • 數學問題 兩個正方形 求證連線緞比為1比根號2?

    最佳解答: 設兩相連線段分別為 aa' 及 cc' , 小正方形為 a' b d' c'。 ∠cbc' = ∠cbd - ∠c'bd = 45° - ∠c'bd = ∠c'bd' - ∠c'bd = ∠dbd' = ∠a'bd' - ∠a'bd = 90° - ∠a'bd = ∠abd - ∠a'bd =∠aba' , 且 ba : bc = ba' : bc' = 1 : √2 , 故 △aba' ~ △cbc' (S.A.S.) , 於是它們對應邊之比 aa' : cc' = 1... 顯示更多
    最佳解答: 設兩相連線段分別為 aa' 及 cc' , 小正方形為 a' b d' c'。 ∠cbc' = ∠cbd - ∠c'bd = 45° - ∠c'bd = ∠c'bd' - ∠c'bd = ∠dbd' = ∠a'bd' - ∠a'bd = 90° - ∠a'bd = ∠abd - ∠a'bd =∠aba' , 且 ba : bc = ba' : bc' = 1 : √2 , 故 △aba' ~ △cbc' (S.A.S.) , 於是它們對應邊之比 aa' : cc' = 1 : √2。
    1 個解答 · 數學 · 1 年前
  • 請問:設f(x)具有f(x+1)-f(x)=5x-4之性質,則f(3)-f(1)之值為何?附上算式,感謝,急急急?

    最佳解答: f(3) - f(1) = f(3) - f(2) + f(2) - f(1) = f(2+1)-f(2) + f(1+1)-f(1) = 5(2)-4 + 5(1)-4 = 7
    最佳解答: f(3) - f(1) = f(3) - f(2) + f(2) - f(1) = f(2+1)-f(2) + f(1+1)-f(1) = 5(2)-4 + 5(1)-4 = 7
    2 個解答 · 數學 · 1 年前
  • 高一數學 代數問題?

    最佳解答: 記2的立方根為 r,則 r^3=2, 就有 a = r^2 + r + 1 ar = r^3 + r^2 + r ar = 2 + r^2 + r ar = a + 1 r = 1 + 1/a r^3 = 1 + 3/a + 3/a^2 + 1/a^3 2 = 1 + 3/a + 3/a^2 + 1/a^3 1 = 3/a + 3/a^2 + 1/a^3
    最佳解答: 記2的立方根為 r,則 r^3=2, 就有 a = r^2 + r + 1 ar = r^3 + r^2 + r ar = 2 + r^2 + r ar = a + 1 r = 1 + 1/a r^3 = 1 + 3/a + 3/a^2 + 1/a^3 2 = 1 + 3/a + 3/a^2 + 1/a^3 1 = 3/a + 3/a^2 + 1/a^3
    1 個解答 · 數學 · 1 年前